畢業(yè)論文：歐氏空間和辛空間的對比—關(guān)于特征值的對比

目錄/提綱：……
目錄一、歐氏空間與辛空間的基本概念5
二、線性變換及其矩陣10
三、線性變換及其矩陣的特征值與特征向量13
四、特殊矩陣的特征值與特征向量15
一、歐氏空間與辛空間的基本概念
二、線性變換及其矩陣
三、線性變換及其矩陣的特征值與特征向量
四、特殊矩陣的特征值與特征向量
……

歐氏空間和辛空間的對比
—關(guān)于特征值的對比


題： 歐氏空間和辛空間的對比
院 （系）： 數(shù)學科學學院
專 業(yè)： 信息與計算科學

摘要: 我們在線性空間的基礎(chǔ)上,定義內(nèi)積了運算,便有內(nèi)積空間(又稱歐氏空間)的概念。類似的，在線性空間的基礎(chǔ)上,定義外積運算,就可以引進辛空間的概念。雖然兩者是建立在同樣的基礎(chǔ)上,但定義上的差異產(chǎn)生的關(guān)于空間的基、對稱矩陣、特征值、正交等概念都不盡相同。本課題就是對歐氏空間和辛空間的一些基本概念和特征值進行對比，特別是對于一些特殊矩陣，比如說對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣、辛矩陣和哈密頓矩陣關(guān)于特征值的性質(zhì)進行對比。

關(guān)鍵詞: 歐氏空間，辛空間，特征值


Abstract : On the basis of the linear space, defining of inner product operations, there will be the concept of an inner product space (also known as Euclidean space). Similarly, on the basis of the linear space, defining th
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換及矩陣 14
四、特殊矩陣的特征值與特征向量 15
4.1 一般矩陣特征值與特征向量的性質(zhì) 15
4.2對稱矩陣與反對稱矩陣的特征值和特征向量 17
4.3 正交矩陣與辛矩陣的特征值 18
4.4對稱矩陣與哈密頓矩陣的特征值和特征向量 19
致謝語 19
參考文獻： 20


一、 歐氏空間與辛空間的基本概念


1.1線性空間

線性空間是線性代數(shù)中 維向量空間概念的抽象和推廣。為了便于理解這個抽象概念，我們先介紹 維向量空間中的向量在加法及數(shù)與向量的乘法方面的運算性質(zhì)，然后再把具有相同運算性質(zhì)的一切集合，抽象概括為線性空間。
在 維向量空間

中，向量 是有序組，且對向量的加法及數(shù)與向量乘法都是封閉的（指運算結(jié)果都仍是 中的向量），且滿足如下 條性質(zhì)（設(shè) 都是 維向量， , 是常數(shù)）：
（1） (加法交換律)；
（2） （加法結(jié)合律）；
（3） （存在零向量0）；
（4） （存在負向量 ）；
（5） （數(shù)因子分配律）；
（6） = （分配律）；
（7） （數(shù)因子結(jié)合律）；
（8） ，
在數(shù)學、力學及其他學科中，有必要不考慮集合的具體內(nèi)容的涵義來研究這類集合的公共性質(zhì)，并把這類集合概括成一個數(shù)學名詞，于是有了如下的線性空間的概念。
定義1.1 設(shè) 是一個非空集合， 是一個數(shù)域。如果 滿足如下兩個條件：
1.在 中定義一個封閉的加法運算，即當 , 時，有惟一的和 ，并且加法運算滿足4條性質(zhì)：
（1） （交換律）；
（2） （結(jié)合律）；
（3）存在零元素 ，對于 中任何一個元素 都有 ；
（4）存在負元素，即對任一元素 ，存在有一元素 ，使 ，且稱 為 的負元素，記為 ，于是有 +( )=0。
2.在 中定義一個封閉的數(shù)乘運算（數(shù)與元素的乘法），即當 ， 時，有惟一的 ，且數(shù)乘運算滿足4條性質(zhì)：
（5） + （分配律）；
（6） + （數(shù)因子分配律）；
（7） （結(jié)合律）；
（8） 。
其中 , , 表示 中的任意元素； , 是數(shù)域 中任意數(shù)；1是數(shù)域 中的單位數(shù)。
這時，我們說 是數(shù)域 上的線性空間。不管 的元素如何，當 為實數(shù)域 時， 為實線性空間；當 為復(fù)數(shù)域 時，稱 為復(fù)線性空間。這里研究的是實線性空間。
1.2內(nèi)積與歐氏空間
在線性空間中，向量之間的運算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為線性運算。但是，如果以解析幾何中三維幾何空間 作為線性空間的一個模型，我們會發(fā)現(xiàn)， 中諸如向量的長度、兩個向量的夾角等度量概念在線性空間的理論中還未得到反映，而這些度量性質(zhì)在很多實際問題（包括幾何問題）中卻是很關(guān)鍵的。因此，有必要在一般的線性空間中引進內(nèi)積運算，從而導出內(nèi)積空間的概念。
在解析幾何中，向量的長度與夾角等度量都可以通過數(shù)量積（又稱點積）來表達，假設(shè) 是 中過原點的兩個向量，則它們的數(shù)量積為
=
其中 是 與 的夾角， 分別是 的坐標。
容易看出，式（1.1）定義的數(shù)量積具有如下的代數(shù)性質(zhì)：
（1）對稱性 ；
（2）可加性 ;
（3）齊次性 , 為任意實數(shù)；
（4）非負性 ；當且僅當 時， 。
有了數(shù)量積的概念，向量長度和夾角就可以表示為
，
。
可見數(shù)量積的概念蘊含著長度和夾角的概念，因此，為了給抽象的線性空間引進長度、夾角等度量，我們可先以數(shù)量積所具備的4條代數(shù)性質(zhì)為依據(jù)，在抽象的線性空間中引入與數(shù)量積相類似的概念，這就是內(nèi)積的概念，并把定義了內(nèi)積的線性空間叫做內(nèi)積空間。
定義1.2 設(shè) 是實數(shù)域 上的線性空間，對于 中任意兩個向量 ，如果能給定某種規(guī)則使 和 對應(yīng)著一個實數(shù)，記為 并且滿足以下條件：
（1） ；
（2） ；
（3） , ；
（4） ，當且僅當 時， 。
則稱該實數(shù) 是向量 與 的內(nèi)積。
如此定義了內(nèi)積的實線性空間 叫做歐幾里得（Euclid）空間，簡稱歐氏空間（或?qū)崈?nèi)積空間）。
由上面的定義我們可以知道，歐氏空間與實線性空間的差別在于歐氏空間比實線性空間多定義了內(nèi)積，或者說歐氏空間是一個特殊的實線性空間。
1.3外積與辛空間
我們在線性空間加法運算和數(shù)乘運算的基礎(chǔ)上，定義內(nèi)積運算便有了歐氏空間的概念。同樣的，在線性空間的基礎(chǔ)上，定義所謂的“反對稱純量積”運算，就可以引進辛空間的概念。我們先介紹反對稱的雙 ……（未完，全文共8975字，當前僅顯示2451字，請閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文：歐氏空間和辛空間的對比—關(guān)于特征值的對比》）