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畢業(yè)論文:Schrödinger方程的一個高精度差分格式

發(fā)表時間:2013/8/20 9:36:32


大學本科生畢業(yè)論文

Schrödinger方程的一個高精度差分格式
院 系      數學科學學院   
專 業(yè)    數學與應用數學  
屆 別      2011  

摘要
本文通過用含參數的差分方程逼近微分方程的方法,構造了Schrödinger方程的一個高精度絕對穩(wěn)定的三層隱式差分格式,并用Miller準則證明了其穩(wěn)定性,通過數值例子說明了該格式是有效的。

關鍵詞:Schrödinger方程;差分格式;穩(wěn)定性;隱式;


Abstract
In this paper,an absolutely stable three-layer implicit difference scheme with high accuracy for solving Schrödinger equation is established by difference e
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第二章 差分格式及其截斷誤差
取時間步長 ,空間步長h,用如下含參數的差分方程逼近微分方程(1)
(3)

其中, 表示 在節(jié)點 上的值,適當選取參數 可以使差分方程(2)逼近微分方程(1),具有盡可能高階的離散誤差,而且有較好的穩(wěn)定性。
當微分方程(1)解充分光滑時,有如下關系式成立
, (p,q為非負整數) (4)
將格式(2)在節(jié)點 處展開成Taylor級數,并使用關系式(4),經整理得
(5)
上式中, 可以是任何非零常數,為使截斷誤差達到 ,只需下列方程組
(6)

成立。解之得
(7)
其中, 是_變量。
此時誤差可達到 ,將式(7)代入式(3),


整理得
(8)
這是三層隱格式,其截斷誤差

所以截斷誤差至少為 ,當然如果想要再提高精度是不可能的。因為要提高精度,必須 ,這與(6)式矛盾。因此差分格式(8)逼近方程(1)的離散誤差不能再提高。


第三章 穩(wěn)定性分析
為了討論格式(3)的穩(wěn)定性,需要引入Miller準則[11][12]。
Miller準則:當 時,復系數二次方程

有模為小于1的不等復根,其充要條件為 ,且 。
用分離變量法分析差分格式(8)的穩(wěn)定性。

.
代入格式(8),得到它的傳播矩陣的特征方程

對照Miller準則,此時

顯然, , ,故由Miller準則可知,其穩(wěn)定的充要條件為 ,


易知,它對任意 均成立。所以,格式(8)絕對穩(wěn)定。










第四章 數值例子
考慮邊值問題:
(9)
其精確解為
(10)
利用格式(8)求數值解,取 , ,r=1,2,計算到n=500,因為格式(8)是三層格式,除初始層網格函數值為已知外,還需要用其它方法預先計算出第一層網格上的函數值,為簡化計算,第一層網格函數值按精確解進行計算。其中表1為格式(8)與C-N格式和精確解數值結果之間的比較情況。表2為格式(8)與C-N格式誤差之間的比較,定義誤差分別為精確解的實部、虛部分別減去差分解的實部、虛部。
表1 格式(8)與C-N格式和精確解數值結果比較
* r 精確解 格式(8) C-N格式
實部 虛部 實部 虛部 實部 虛部
1 0.295913 0.366946 0.295928 0.366935 0.397345 0.365788
2 - 0.396388 -0.255130 0.396311 -0.255250 0.394325 -0.258308
1 0.521945 0.647236 0.521970 0.647216 0.524470 0.645192
2 0.699166 -0.450010 0.699029 -0.450022 0.695526 -0.455615
1 -0.398233 -0.493827 -0.398252 -0.493811 -0.400159 -0.492268
2 -0.533448 0.34334 ……(未完,全文共5766字,當前僅顯示2025字,請閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文:Schrödinger方程的一個高精度差分格式》
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