畢業(yè)論文：Schrödinger方程的一個高精度差分格式

大學(xué)本科生畢業(yè)論文

Schrödinger方程的一個高精度差分格式
院 系 　　 　 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　　　
專 業(yè) 　　 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)　　
屆 別 　　 　 2011 　

摘要
本文通過用含參數(shù)的差分方程逼近微分方程的方法，構(gòu)造了Schrödinger方程的一個高精度絕對穩(wěn)定的三層隱式差分格式，并用Miller準(zhǔn)則證明了其穩(wěn)定性，通過數(shù)值例子說明了該格式是有效的。

關(guān)鍵詞：Schrödinger方程；差分格式；穩(wěn)定性；隱式；


Abstract
In this paper，an absolutely stable three-layer implicit difference scheme with high accuracy for solving Schrödinger equation is established by difference e
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第二章 差分格式及其截斷誤差
取時間步長 ，空間步長h，用如下含參數(shù)的差分方程逼近微分方程（1）
（3）

其中, 表示 在節(jié)點 上的值，適當(dāng)選取參數(shù) 可以使差分方程(2)逼近微分方程(1)，具有盡可能高階的離散誤差，而且有較好的穩(wěn)定性。
當(dāng)微分方程(1)解充分光滑時，有如下關(guān)系式成立
， （p,q為非負整數(shù)） （4）
將格式(2)在節(jié)點 處展開成Taylor級數(shù)，并使用關(guān)系式(4)，經(jīng)整理得
（5）
上式中， 可以是任何非零常數(shù)，為使截斷誤差達到 ，只需下列方程組
(6)

成立。解之得
(7)
其中， 是_變量。
此時誤差可達到 ，將式(7)代入式(3)，
即

整理得
（8）
這是三層隱格式，其截斷誤差

所以截斷誤差至少為 ，當(dāng)然如果想要再提高精度是不可能的。因為要提高精度，必須 ，這與(6)式矛盾。因此差分格式(8)逼近方程(1)的離散誤差不能再提高。


第三章 穩(wěn)定性分析
為了討論格式(3)的穩(wěn)定性，需要引入Miller準(zhǔn)則[11][12]。
Miller準(zhǔn)則：當(dāng) 時，復(fù)系數(shù)二次方程

有模為小于1的不等復(fù)根，其充要條件為 ，且 。
用分離變量法分析差分格式(8)的穩(wěn)定性。
令
.
代入格式(8)，得到它的傳播矩陣的特征方程

對照Miller準(zhǔn)則，此時

顯然， , ,故由Miller準(zhǔn)則可知，其穩(wěn)定的充要條件為 ，
即

易知，它對任意 均成立。所以，格式(8)絕對穩(wěn)定。










第四章 數(shù)值例子
考慮邊值問題：
（9）
其精確解為
（10）
利用格式(8)求數(shù)值解，取 , ,r=1,2，計算到n=500，因為格式(8)是三層格式，除初始層網(wǎng)格函數(shù)值為已知外，還需要用其它方法預(yù)先計算出第一層網(wǎng)格上的函數(shù)值，為簡化計算，第一層網(wǎng)格函數(shù)值按精確解進行計算。其中表1為格式（8）與C-N格式和精確解數(shù)值結(jié)果之間的比較情況。表2為格式（8）與C-N格式誤差之間的比較，定義誤差分別為精確解的實部、虛部分別減去差分解的實部、虛部。
表1 格式（8）與C-N格式和精確解數(shù)值結(jié)果比較
* r 精確解 格式（8） C-N格式
實部 虛部 實部 虛部 實部 虛部
1 0.295913 0.366946 0.295928 0.366935 0.397345 0.365788
2 - 0.396388 -0.255130 0.396311 -0.255250 0.394325 -0.258308
1 0.521945 0.647236 0.521970 0.647216 0.524470 0.645192
2 0.699166 -0.450010 0.699029 -0.450022 0.695526 -0.455615
1 -0.398233 -0.493827 -0.398252 -0.493811 -0.400159 -0.492268
2 -0.533448 0.34334 ……（未完，全文共5766字，當(dāng)前僅顯示2025字，請閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文：Schrödinger方程的一個高精度差分格式》）