畢業(yè)論文：二階微分方程邊值問題解的存在唯一性

二階微分方程邊值問題解的存在唯一性
2007級信息與計算科學

摘要：微分不等式理論是處理各類微分方程的邊值問題的解的存在性或唯一性及其數(shù)值計算的一種簡單而有效的理論。
本文主要是通過微分不等式的技巧，研究一類不具備Nagumo條件但滿足某種替代性條件的二階微分方程的兩點邊值問題的解的存在性。首先，提出了替代Nagumo條件的一些新條件，并且證明了他們也能起著與Nagumo條件的同樣作用，再利用Green函數(shù)表示出方程解的等價積分方程y(t),利用Schauder不動點定理及在引理的證明基礎上用微分不等式理論證明二階微分方程邊值問題解的存在性，最后在附加一定條件下證明解的唯一性。

關鍵詞：Nagumo條件；微分不等式；邊值問題；上解；下解；存在性；唯一性

Second Order Differential Equations E*istence and Uniqueness
Abstract: The the
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on y (t), using Schauder fi*ed point Theorem and the proof of Lemma using differential inequalities on the basis of second-order Differential Equations prove the e*istence, in the end proved under certain conditions attached uniqueness of solution.Key words: Nagumo’s condition, differential inequality, boundary value problem, upper solution, lower solution, e*istence, uniqueness.

Keywords: Nagumo condition; differential inequality; boundary value problem; on the solution; lower solution; e*istence; uniqueness



引言..........................................3
引理及其證明 .................................5
主要結論與證明................................7
結論的應用....................................9
參考文獻.....................................10
致謝.........................................10

引言：

Nagumo于20世紀30年代開創(chuàng)性地提出了二階微分方程邊值問題的微分不等式理論，給出了Nagumo條件和Nagumo定理，奠定了微分不等式理論的基礎 ，其后Howes和Jackson系統(tǒng)地總結、發(fā)展并簡化了該理論 ，使這種簡單而有效的理論與方法成為處理各類微分方程的邊值問題的解的存在性或唯一性及其數(shù)值計算的一種簡單而有效的手段。目前，微分不等式理論已趨完善，采用微分不等式理論能夠簡潔有效地重新獲得其他方法證明的結果，并且可以處理更復雜的問題，解釋漸進過程的實質。人們利用微分不等式成功地處理了二階、三階乃至高階微分方程以及微分系統(tǒng)的各類邊值問題解的存在性和唯一性。但在微分不等式理論中，有一個較強的限制性條件，即所謂的Nagumo條件。以二階微分方程的兩點邊值問題

為例，若下列條件成立：
<1> 具有 的下解 與上解 ；
<2> 在 上連續(xù)且滿足關于 滿足Nagumo條件；
則邊值問題（1）（2）存在解 滿足 ，且有 ， ，這里N為僅依賴于 的正常數(shù) 。這里的上解與下解函數(shù)，Nagumo條件定義如下：

定義1 若函數(shù) 滿足：
① ，即 在 上二階連續(xù)可微；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ， 。
則稱 和 為邊值問題（1）（2）的下解與上解。

定義2 若函數(shù) ， 滿足以下條件：
① 在 上 ；
② 在 上， 連續(xù)，且有： .這里 是在 上連續(xù)且單調不減的函數(shù)，滿足 ， ，則稱 在 上關于 滿足Nagumo條件。 ……（未完，全文共5325字，當前僅顯示1870字，請閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文：二階微分方程邊值問題解的存在唯一性》）