畢業(yè)論文：二階微分方程邊值問(wèn)題解的存在唯一性

二階微分方程邊值問(wèn)題解的存在唯一性
2007級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)

摘要：微分不等式理論是處理各類(lèi)微分方程的邊值問(wèn)題的解的存在性或唯一性及其數(shù)值計(jì)算的一種簡(jiǎn)單而有效的理論。
本文主要是通過(guò)微分不等式的技巧，研究一類(lèi)不具備N(xiāo)agumo條件但滿(mǎn)足某種替代性條件的二階微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解的存在性。首先，提出了替代Nagumo條件的一些新條件，并且證明了他們也能起著與Nagumo條件的同樣作用，再利用Green函數(shù)表示出方程解的等價(jià)積分方程y(t),利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及在引理的證明基礎(chǔ)上用微分不等式理論證明二階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性，最后在附加一定條件下證明解的唯一性。

關(guān)鍵詞：Nagumo條件；微分不等式；邊值問(wèn)題；上解；下解；存在性；唯一性

Second Order Differential Equations E*istence and Uniqueness
Abstract: The the
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on y (t), using Schauder fi*ed point Theorem and the proof of Lemma using differential inequalities on the basis of second-order Differential Equations prove the e*istence, in the end proved under certain conditions attached uniqueness of solution.Key words: Nagumo’s condition, differential inequality, boundary value problem, upper solution, lower solution, e*istence, uniqueness.

Keywords: Nagumo condition; differential inequality; boundary value problem; on the solution; lower solution; e*istence; uniqueness



引言..........................................3
引理及其證明 .................................5
主要結(jié)論與證明................................7
結(jié)論的應(yīng)用....................................9
參考文獻(xiàn).....................................10
致謝.........................................10

引言：

Nagumo于20世紀(jì)30年代開(kāi)創(chuàng)性地提出了二階微分方程邊值問(wèn)題的微分不等式理論，給出了Nagumo條件和Nagumo定理，奠定了微分不等式理論的基礎(chǔ) ，其后Howes和Jackson系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展并簡(jiǎn)化了該理論 ，使這種簡(jiǎn)單而有效的理論與方法成為處理各類(lèi)微分方程的邊值問(wèn)題的解的存在性或唯一性及其數(shù)值計(jì)算的一種簡(jiǎn)單而有效的手段。目前，微分不等式理論已趨完善，采用微分不等式理論能夠簡(jiǎn)潔有效地重新獲得其他方法證明的結(jié)果，并且可以處理更復(fù)雜的問(wèn)題，解釋漸進(jìn)過(guò)程的實(shí)質(zhì)。人們利用微分不等式成功地處理了二階、三階乃至高階微分方程以及微分系統(tǒng)的各類(lèi)邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性。但在微分不等式理論中，有一個(gè)較強(qiáng)的限制性條件，即所謂的Nagumo條件。以二階微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

為例，若下列條件成立：
<1> 具有 的下解 與上解 ；
<2> 在 上連續(xù)且滿(mǎn)足關(guān)于 滿(mǎn)足Nagumo條件；
則邊值問(wèn)題（1）（2）存在解 滿(mǎn)足 ，且有 ， ，這里N為僅依賴(lài)于 的正常數(shù) 。這里的上解與下解函數(shù)，Nagumo條件定義如下：

定義1 若函數(shù) 滿(mǎn)足：
① ，即 在 上二階連續(xù)可微；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ， 。
則稱(chēng) 和 為邊值問(wèn)題（1）（2）的下解與上解。

定義2 若函數(shù) ， 滿(mǎn)足以下條件：
① 在 上 ；
② 在 上， 連續(xù)，且有： .這里 是在 上連續(xù)且單調(diào)不減的函數(shù)，滿(mǎn)足 ， ，則稱(chēng) 在 上關(guān)于 滿(mǎn)足Nagumo條件。 ……（未完，全文共5325字，當(dāng)前僅顯示1870字，請(qǐng)閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文：二階微分方程邊值問(wèn)題解的存在唯一性》）