畢業(yè)論文：偏度、峰度檢驗—產(chǎn)品質(zhì)量檢驗

偏度、峰度檢驗
—產(chǎn)品質(zhì)量檢驗
院系：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)
屆別：2011屆本科

目錄
摘要 1
Abstract 2
引言 3
一、常用定理 4
1.1 特征函數(shù) 4
1.2 一些常用分布的特征函數(shù) 5
1.3 中心極限定理 6
1.4 三種常見的統(tǒng)計量 7
1.5 正態(tài)總體的抽樣分布 9
二、假設(shè)檢驗 13
2.1 無偏估計 13
2.2 顯著性檢驗 和 關(guān)于 檢驗 14
三、偏度、峰度檢驗 17
3.1偏度、峰度檢驗 17
3.2 偏度、峰度檢驗的應(yīng)用 19
結(jié)論分析 21
參考文獻(xiàn) 22
致 謝 22

摘要
所有生產(chǎn)制造公司類的公司都會考慮產(chǎn)品質(zhì)量問題，要從一大批量的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品，通過檢查，測定一組所要檢測的數(shù)據(jù)。為了降低數(shù)據(jù)分析過程中帶來的麻煩，通常情況要考慮樣本總體是否服正態(tài)分布。因此，首先假設(shè)樣本是服從正態(tài)分布，在選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，確定顯著性水平 ，當(dāng)偏度 與 的偏離不應(yīng)太大，峰度 與 的偏離不應(yīng)太大的情況下，為了使犯第一類錯誤情況降低。因此，要讓拒絕域滿足 時，我們就稱該樣本是服從正態(tài)總體分布的。這種檢驗方法稱為偏度、峰度檢驗。燈泡的通光量是檢測一個燈泡是否合格的標(biāo)準(zhǔn)，隨機(jī)抽取了
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方法，但是用它來檢驗總體的正態(tài)分布時，犯第二類錯誤的概率比較大。通過大量的模擬計算的結(jié)果，認(rèn)為正態(tài)性檢驗中，以偏度、峰度檢驗是較為有效地檢驗。目前許多企業(yè)依舊延續(xù)著經(jīng)驗主義和簡單的檢驗方法。通過檢驗抽取檢驗產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)品的合格率達(dá)到規(guī)定的值時，就認(rèn)為這一批產(chǎn)品是合格的。當(dāng)一批產(chǎn)品原本是合格的，但是剛好抽取到了次品太多，造成檢驗不合格，工作人員會要求相關(guān)人員返工或者直接報廢，造成大量的成本浪費�；蛘弋�(dāng)一批產(chǎn)品是不合格品很多，剛好抽取到得產(chǎn)品全是合格品或者達(dá)到了合格品的要求，公司就會直接將產(chǎn)品出售，等到供貨商開始處理這批產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)大量的不合格品，那么這種情況損失會更大，不但要求供應(yīng)商賠款，還會造成對供應(yīng)商的整體評價的下降。因此這些小概率事件發(fā)生的肯能行有多高呢？因此工作人員經(jīng)過統(tǒng)計，收集數(shù)據(jù)，模擬計算，對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。對于連續(xù)隨機(jī)試驗的到的數(shù)據(jù)都是符合正態(tài)分布的，為了降低小概率事件的發(fā)生，我們將如果總體是合格品，但是通過抽樣檢驗，這批產(chǎn)品次品率太高，造成不合格的情況視為犯第一類錯誤，顯著性水平為 。通過偏度、峰度檢驗法來檢驗樣本是否服從總體正態(tài)分布，來對數(shù)據(jù)處理，從而降低對數(shù)據(jù)處理和分析的難度。

一、常用定理
統(tǒng)計量是對總體的分布函數(shù)或數(shù)字特征進(jìn)行估計與推斷的基本概念，統(tǒng)計量的分布也稱為抽樣分布。設(shè) 是來自總體*的一個樣本， 是 的函數(shù)，若g中不含未知參數(shù)，則 是一個統(tǒng)計量。

1.1 特征函數(shù)
設(shè) 是隨機(jī)變量*的分布函數(shù)，對 則有*的特征函數(shù)：
1）
2）

都存在 成立
故對于任何隨機(jī)變量都有特征函數(shù)。
3）當(dāng)Y=a*+b（a，b為任意常數(shù)）的特征函數(shù)為：
。
4） 隨機(jī)變量存在n階原點矩，則 的n階導(dǎo)數(shù)存在，且

5）當(dāng) ， ，…，*n為相互獨立的隨機(jī)變量，
特征函數(shù)為 則
特征函數(shù)等于各個隨機(jī)變量的特征函數(shù)的乘積，即
（1）若*是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為 ，則特征函數(shù)為

（2）若*是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f（*），則*的特征函數(shù)為


1.2 一些常用分布的特征函數(shù)
1、二項分布
*服從二項分布， 。
解 ，（ （ ），k=1，2，…n，）
特征函數(shù)：


即： 為二項分布的特征函數(shù)
2 、正態(tài)分布
解：當(dāng) （0，1）正態(tài)分布時，即密度函數(shù)： 。

由于 是復(fù)變函數(shù)，所以用復(fù)變函數(shù)的積分公式

。
又 當(dāng)*服從正態(tài)分布， 密度函數(shù)為：

，
，
，
，
即：

1.3 中心極限定理
對于隨機(jī)變量 相互獨立，服從同一分布且具有數(shù)學(xué)期望和方差分別為：
,（k=1，2…n）。
設(shè) ，則

證：

,
,

=1-1/2 +



定理：分布函數(shù)列 弱收斂于分布函數(shù) 的充要條件是相應(yīng)的特征函數(shù)列 收斂于 的特征函數(shù) 。
故由以上定理可 。
即 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

1.4 三種常見的統(tǒng)計量
1.4.1 分布
設(shè)隨機(jī)變量 相互獨立都服從正態(tài)分布為 (0,1) 的正態(tài)分布 服從_度為n的分布 。 記為：



c2 分布的密度函數(shù)曲線圖

可見_度n增大時，密度曲線逐漸趨于對稱，當(dāng) 時， 分布的極限分布是正態(tài)分布，當(dāng) 時，可以認(rèn)為近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.


應(yīng)用中心極限定理可得，若 則當(dāng)n充分大時, 的分布近似正態(tài)分布 N (0,1).

1.4.2 分布
設(shè) *～N(0,1)，Y～ 且*與Y相互獨立，則稱變量 所服從的分布為_度為 n的 分布。 記為：T～t(n).
T的密度函數(shù)為：


是偶函數(shù)，所以它的圖形是關(guān)于*=0對稱的，且形狀類似于正態(tài)隨機(jī)變量的密度函數(shù)形狀。由圖可見當(dāng) 時， 分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。
且 當(dāng) 時對 n > 2; E( T ) = 0; D( T ) = n / ( n - 2 ) 。

1.4.3 分布
設(shè) ,*與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量
服從_度為 及 的F分布， 稱為第一_度， 稱為第二_度，記作:

若* ~ ， *的 ……（未完，全文共7152字，當(dāng)前僅顯示2512字，請閱讀下面提示信息。收藏《畢業(yè)論文：偏度、峰度檢驗—產(chǎn)品質(zhì)量檢驗》）