解決抽象型函數(shù)問(wèn)題的若干思想

　　內(nèi)容摘要：因?yàn)槌橄�，時(shí)常困惑著不少師生。這類(lèi)問(wèn)題對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維能力，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的_，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，有著重要作用。本文根據(jù)近年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從利用抽象函數(shù)特殊模型、函數(shù)性質(zhì)、特殊方法等解題思想，談抽象型函數(shù)問(wèn)題的解決方法。
　　關(guān)鍵詞：解決函數(shù)問(wèn)題思想
　　抽象型函數(shù)問(wèn)題是指沒(méi)有給出解析式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)問(wèn)題，它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)。因?yàn)槌橄螅瑢W(xué)生難以理解，接受困難；教師對(duì)教材難以處理，因此，這類(lèi)問(wèn)題時(shí)常困惑著不少師生。但是這類(lèi)問(wèn)題對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維能力，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的_，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，有著重要作用。為此，本文就這類(lèi)問(wèn)題的解題思想談點(diǎn)看法。
　　一、利用特殊模型的解題思想
　　在中學(xué)函數(shù)部分教材中可以找到一些抽象型函數(shù)的特殊模型（列表如下），
　　特殊函數(shù)模型與抽象函數(shù)對(duì)照一覽表
　　特殊函數(shù)模型抽象函數(shù)
　　正比例函數(shù)f(*)=k*(k≠0)f(*+y)=f(*)+f(y)（*、y∈r）
　　冪函數(shù)f(*)=*αf(*y)=f(*)f(y)(*、y∈r);f(eqf(*,y)
　　)=eqf(f(*
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的解題處理方法，可以迅速得到正確答案。
　　2、借助特殊模型為解抽象函數(shù)問(wèn)題鋪路
　　對(duì)于抽象函數(shù)解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解題意；同時(shí)，對(duì)于有些對(duì)應(yīng)的特殊模型不是學(xué)生熟悉的基本初等函數(shù)的抽象函數(shù)解答題，要啟發(fā)學(xué)生通過(guò)適當(dāng)變通去尋求特殊模型，從而得到抽象函數(shù)問(wèn)題的求解方法。
　　例3、已知函數(shù)f（*）(*≠0)滿足f(*y)=f(*)+f(y),
　�。�1）求證：f(1)=f(-1)=0；
　�。�2）求證：f(*)為偶函數(shù)；
　�。�3）若f(*)在(0,+∞)上是增函數(shù)，解不等式f(*)+f(*-eqf(1,2))≤0。
　　分析：因?yàn)槎x域?yàn)?-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f(*)=loga*(0＜a＜1）理解題意顯然不當(dāng)，但是只要稍加變通，可以發(fā)現(xiàn)用f(*)=loga|*︳理解題意較為恰當(dāng)，第（3）小題解不等式就可與解對(duì)數(shù)不等式類(lèi)比處理。
　　（1）令*=y=1得f(1)=0，令*=y=-1得f(-1)=0；
　�。�2）令y=-1得f(-*)=f(*)；
　�。�3）∵f(*)為偶函數(shù)，∴f（*）+f（*-eqf(1,2)）=f（|*|）+f（|*-eq
　　f(1,2)|）=f（*|(*-eqf(1,2))|）≤f（1）。
　　例4、已知函數(shù)f（*）對(duì)一切實(shí)數(shù)*、y滿足f(0)≠0，f(*+y)=f(*)(y)，且當(dāng)*＜0時(shí)，f（*）＞1，求證：（1）當(dāng)*＞0時(shí)，0＜f（*）＜1；（2）f(*)在*∈r上是減函數(shù)。
　　分析：由f（*）=a*(0＜a＜1）理解題意。
　�。�1）令*=y=0得f（0）=f
　　2（0），又f（0）≠0，f（0）=1，再令y=-*得f（*）（-*）=1，∵當(dāng)時(shí)*＞0時(shí)，f（-*）＞1，∴0＜f（*）＜1；
　�。�2）受指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性啟發(fā)得，*＜0時(shí)，f（*）＞1；*＞0時(shí)，0＜f（*）＜1；*=0時(shí)，f（*）≠0，f（*）＞0。又∵f(*+y)=f(*)f(y),
　　(*、y∈r),∴f(*-y)=eqf(f(*),f(y))，設(shè)*1＜*2，則eq
　　f(f(*1),f(*2))=
　　f(*1-*2)＞1，∵f(*2)＞0∴f(*1)＞f(*2),因此，f(*)在*∈r上是減函數(shù)。
　　評(píng)注：借助特殊函數(shù)模型鋪路是解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用處理方法，這樣做不僅使學(xué)生感到抽象函數(shù)并不是無(wú)章可循、玄妙莫測(cè)，而且為更深入地研究抽象函數(shù)打下了良好的基礎(chǔ)。
　　二、利用函數(shù)性質(zhì)的解題思想
　　函數(shù)的特征是通過(guò)各種各樣的性質(zhì)反映出來(lái)的，抽象函數(shù)也不例外，只有充分利用題設(shè)條件已表明或隱含的函數(shù)性質(zhì)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，才能順利解決抽象型函數(shù)問(wèn)題。
　　1、利用奇偶性，整體思考
　　例5、已知函數(shù)f（*）=a*5+bsin*+3，且f（-3）=7，求f（3）的值
　　分析：f（*）的解析式中含有兩個(gè)參數(shù)a、b，卻只有一個(gè)條件f（-3）=7，無(wú)法用待定系數(shù)法確定a、b的值，因此解析式不確定，注意到φ（*）=
　　a*5+bsin*=f（*）-3是奇函數(shù)，可得φ（-3）=-φ（3），即f（-3）-3=
　　-[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）=-1。
　　評(píng)注：這種解法運(yùn)用了整體思想，優(yōu)化整體為局部，再由各局部的解決使整體問(wèn)題得解。
　　2、利用單調(diào)性，等價(jià)轉(zhuǎn)化
　　例6、已知函數(shù)f（*）在定義域（-∞，1]上是減函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使f（k-sin*）≥f（k2-sin2*）對(duì)一切實(shí)數(shù)*恒成立？并說(shuō)明理由。
　　分析：由單調(diào)性，脫掉抽象的函數(shù)記號(hào)，原不等式等價(jià)于k-sin*≤k2-sin2*≤1，它又等價(jià)于
　　k2≤1+sin2*…………………………………………………………①
　　k2-k+eqf(1,4)≥(sin*-eqf(1,2))2……………………………………………………②
　　由函數(shù)的最值性，不等式①對(duì)一切恒成立的充要條件是
　　k2≤(1+sin2*)min=1………………………………………………………③
　　不等式②對(duì)一切恒成立的充要條件是
　　k2-k+eqf(1,4)≥[(sin*-eqf(1,2))2] ……（未完，全文共6475字，當(dāng)前僅顯示2273字，請(qǐng)閱讀下面提示信息。收藏《解決抽象型函數(shù)問(wèn)題的若干思想》）